Самоучка уравнение с тремя действиями. Как решать алгебраические уравнения в два действия
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) - линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3 .
Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х - любое число .
Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = - b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4. Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8
.
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.
Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение
3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Ответ: 27.
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
СЦЕНАРИЙ УРОКА
с использованием компьютера.
Образовательное учреждение – МОУ «Северская гимназия» ЗАТО Северск.
Предмет – математика.
Класс – третий.
Тема: Решение уравнений в несколько действий.
Тип урока – открытие нового знания.
Форма урока – комбинированный урок с элементами проблемно-поискового обучения.
Формы организации учебной деятельности: коллективная деятельность по решению проблемы, индивидуальные задания по выбору, работа в парах, самостоятельная работа.
Задачи урока:
Учебно-методическое обеспечение – учебник для третьего класса в 3-х частях «Математика», ч. 2, Л.Г. Петерсон.
Продолжительность занятия – 45 минут.
13 слайдов (среда Power Point, Word).
Необходимое оборудование и материалы для занятия:
Компьютер, медиапроектор, экран.
Доска,учебник, рабочие тетради, медиапродукт.
Методы:
Проблемный
Сравнительный
Наблюдение
Использование схематизации (составление алгоритма)
Формы работы:
Коллективная деятельность
Работа по вариантам, взаиморпроверка
Выполнение задания по выбору
Самостоятельная работа
Уравнение, компоненты действий, порядок действий, алгоритм.
Список литературы:
Учебник для третьего класса «Математика» Л.Г. Петерсон в 3-х частях, часть вторая, М.: Издательство «Ювента», 2008 г.
Л.Г. Петерсон «Деятельностный подход и его реализация на уроках математики в начальной школе», статья в журнале «Начальная школа: плюс-минус», № 5 1999 г.
Ресурсы Интернет:http:// www . cwer . ru / files (картинки)
Ход урока:
Цели урока: систематизировать знания об уравнениях разного вида;
Формировать навык нахождения неизвестного компонента, упражнять учащихся в комментировании уравнений через компоненты действий;
Познакомить с алгоритмом решения составных уравнений;
Формировать вычислительные навыки, упражнять в решении задач изученных видов;
Развивать правильную математическую речь, логическое мышление;
Учить самооценке своей деятельности, сравнивать результаты деятельности с образцом.
Организационный момент (Слайд № 1).
Устные упражнения (Слайд № 2).
Рассмотрите выражения. Определите порядок действий, выделите последнее действие.
k · m + n: 3 (5 + b) : 16
a · 4 – 8 (15: х) · (8 – у)
Прочитайте выражения, опираясь на последнее действие.
Введение нового материала.
(Слайд № 3)
Прочитайте записи. Вспомните, как называется каждая запись?
26 + 37 (Д: выражение)
236 – 21 = 215 (Д: верное равенство)
48: х (Д: выражение с переменной)
При каких значениях а неравенство будет верным?
Какое математическое понятие мы не назвали? (Д: уравнение)
Я предлагаю вам решить несколько уравнений, но прежде повторим правила нахождения неизвестного компонента:
Карточки:
(Учащиеся повторяют правила нахождения неизвестного компонента по карточкам).
А теперь запишите в тетрадях число и решите следующие уравнения:
(Слайд № 4)
а – 86 = 9 56: с = 2 · 4 (4 · b – 16) : 2 = 10
Кто справился с работой?
Сколько уравнений решили? (Д: два уравнения).
Давайте проверим решённые уравнения. (Слайд № 4а).
Чему равен корень в первом уравнении? (Д: а = 95).
Чему равен корень во втором уравнении? (Д: с = 7).
Какая проблема возникла при решении третьего уравнения?
(Д: Нечего упрощать в правой части).
Может, кто-то сможет сформулировать тему урока?
(Д: Решение уравнений в несколько действий).
Да, верно, сегодня мы будем учиться решать уравнения в несколько действий. (Слайд № 5)
Давайте ещё раз внимательно посмотрим на наше уравнение. Подумайте, что мы с вами хорошо знаем? Что уже умеем делать?
Ответы детей (Слайд № 6):
Умеем определять порядок действий.
Умеем решать простые уравнения, находить неизвестные компоненты.
Умеем выполнять операции (прямые и обратные).
Давайте выполним то, что умеем делать, нам это должно помочь. А я буду фиксировать наши действия. (Учитель подводящим диалогом направляет деятельность учащихся, они проговаривают действия и решают уравнение в тетрадях). Слайд № 7
(4 · b – 16) : 2 = 10 1. Определяем порядок действий.
2. Выделяем последнее действие.
3. Определяем неизвестный компонент.
4 · b – 16 = 10 · 2 4. Применяем правило.
4 · b – 16 = 20 5. Упрощаем правую часть.
6. Расставляем порядок действий.
7. Выделяем последнее действие.
8. Определяем неизвестный компонент.
4 · b = 20 + 16 9. Применяем правило.
4 · b = 36 10. Упрощаем правую часть.
11. Определяем неизвестный компонент.
b = 36: 4 12. Применяем правило.
b = 9 13. Находим корень.
Посмотрите внимательно, какая программа действий у нас получилась?
Что интересного заметили?
Можно ли как-то сократить нашу программу?
Составим алгоритм действий:
(Слайд № 8)
Физкультминутка (Слайд № 9).
Гимнастика для глаз.
Первичное закрепление (проговаривание).
(Слайд № 10).
А сейчас, пользуясь алгоритмом, давайте попробуем объяснить следующее уравнение:
(2 + х: 7) · 8 = 72
2 + х: 7 = 72: 8
2 + х : 7 = 9 Учащиеся пошагово комментируют
х: 7 = 9 – 2 решение уравнения.
Поднимите руку, кому хорошо понятно, как решали уравнение в несколько действий? Расскажите о своих действиях.
Кто ещё испытывает трудности, нуждается в помощи?
Самоконтроль.
Проверьте свое решение, обменяйтесь тетрадями, помогите в проверке соседу.
Кто считает, что решение верное, что он справился с работой, поставьте на полях «+».
Проверьте работу учащихся. У кого получился такой же корень уравнения?
Итог работы.
Ребята, назовите тему сегодняшнего урока?
С какой проблемой столкнулись в начале урока?
Как справлялись с трудностями?
Повторите алгоритм действий.
Как вы думаете, выполняя сейчас работу, только ли уравнения мы учимся решать? (Д: учимся планировать свою деятельность, упражняться в счете, в вычислениях, учимся выполнять задания).
Могут ли пригодиться в жизни наши знания, наши умения? Где? Когда?
Какие бы ключевые слова выделили на уроке?
(Д: Уравнение, порядок действий, неизвестный компонент, правило нахождения неизвестного компонента, выражения) – Слайд № 11.
8. Самооценка своей деятельности.
Если было легко на уроке, во всем разобрались – зеленый цвет. Если были трудности, сомнения – желтый цвет. Если не разобрались в теме, было трудно – красный цвет. – Слайд « 12.
9. Домашнее задание (Слайд № 13)
Составьте свой пример уравнения в несколько действий;
стр. 36, № 7 (по вариантам).
Слайд № 14 – завершение урока.
Содержимое:
Решать простые алгебраические уравнения можно всего в два действия. Для этого достаточно используя сложение, вычитание, умножение или деление изолировать переменную. Хотите знать различные способы решения алгебраических уравнений? Читайте дальше.
Шаги
1 Решение уравнений с одной неизвестной
- 1 Запишите уравнения. Для решения алгебраического уравнения перво наперво надо его записать, так сразу все станет понятнее. Скажем, мы имеем дело со следующим уравнением: -4x + 7 = 15.
- 2
Решаем, какое действие будем использовать для изоляции переменной.
Следующий шаг - придумать, как сохранить "-4x" с одной стороны, а постоянные (целые числа) - с другой. Для этого используем "закон симметрии" и найдем число, противоположное +7, это -7. Теперь вычитаем 7 из обеих частей уравнения так, чтобы "+7" в той части, где находится переменная превратилась в 0. Просто запишем "-7" под 7 с одной стороны и под 15 с другой так, чтобы уравнение по сути не изменилось.
- Помним Золотое правило алгебры. Все, что делаем с одной частью уравнения мы также делаем и с другой. Именно поэтому мы вычли 7 и из 15 тоже.
- 3
Добавляем или вычитаем постоянную в обеих частях уравнения.
Так мы изолируем переменную. Вычитая 7 из +7 мы получим слева 0. Вычитая 7 из +15 мы получим 8 справа.
- -4x + 7 = 15 =
- -4x = 8
- 4
Путем деления или умножения избавляемся от коэффициента переменной.
В этом примере коэффициент -4. Чтобы от него избавиться нужно разделить обе части уравнения на -4.
- Опять же, все действия проводятся с обеими частями, именно поэтому вы видите ÷ -4 дважды.
- 5 Найдите переменную. Для этого разделите левую часть (-4х) на -4, получится х. Разделите правую часть (8) на -4, получится -2. Таким образом х = -2. Уравнение решено в два действия: -- вычитание и деление --.
2 Решение уравнений с переменными в обеих частях
- 1 Запишите уравнение. Мы будем решать уравнение: -2x - 3 = 4x - 15. Для начала убедитесь, что переменные одинаковы: в этом случае х.
- 2
Переведите постоянные в правую часть уравнения.
Для этого нужно использовать сложение или вычитание. Постоянная -3, так что мы берем противоположное +3 и добавляем к обеим частям.
- Добавив +3 к левой части (-2х -3)мы получим -2х.
- Добавив +3 к правой части (4ч -15) мы получим 4х -12.
- Таким образом (-2x - 3) +3 = (4x - 15) +3 = -2x = 4x - 12
- Измененное уравнение: -2x = 4x -12
- 3
Переносим переменные влево с переменой знака.
Получаем -6х = -12
- -2x - 4x = (4x - 12) - 4x = -6x = -12
- 4
Находим переменную.
Для этого делим обе части на -6 и получаем х = 2.
- -6x ÷ -6 = -12 ÷ -6
- x = 2
3 Другие способы решения уравнений в два действия
- 1
Уравнение можно решить и оставив переменную справа, это не имеет значения.
Возьмем уравнение 11 = 3 - 7x. Для начала избавимся от 3 справа, для этого вычтем 3 из обеих частей. Затем разделим обе части на -7 и получим х:
- 11 = 3 - 7x =
- 11 - 3 = 3 - 3 - 7x =
- 8 = - 7x =
- 8/-7 = -7/7x
- -8/7 = x или -1.14 = x
- 2
Решаем уравнение вторым действием умножая, а не деля.
Принцип тот же. Возьмем уравнение x/5 + 7 = -3. Для начала вычитаем 7 из обеих частей и затем перемножаем обе части на 5 и получаем х:
- x/5 + 7 = -3 =
- (x/5 + 7) - 7 = -3 - 7 =
- x/5 = -10
- x/5 * 5 = -10 * 5
- x = -50